$\int {\frac{{1 + x}}{{{e^{ - x}}{{(1 + x{e^x})}^n}}}dx} $

$I = \int {\frac{{1 + x}}{{{e^{ - x}}{{(1 + x{e^x})}^n}}}dx = ?} ,n \ne 1$

Solution

Let, $1 + x{e^x} = t$

$(x{e^x} + {e^x})dx = dt$

$ \Rightarrow {e^x}(1 + x)dx = dt$

Now, $I = \int {\frac{{{e^x}(1 + x)dx}}{{{{(1 + x{e^x})}^n}}}}  = \int {\frac{{dt}}{{{t^n}}}}  = \frac{{{t^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + C$

$\therefore I = \frac{{{{(1 + x{e^x})}^{1 - n}}}}{{1 - n}} + C$