$I = \int\limits_0^\pi {\frac{{2(\pi - x)\sin (\pi - x)}}{{3 + \cos 2(\pi - x)}}dx} $
$ = \int\limits_0^\pi {\frac{{2(\pi - x)\sin x}}{{3 + \cos 2x}}dx} $
$2I = \int\limits_0^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{3 + \cos 2x}}dx} + \int\limits_0^\pi {\frac{{2(\pi - x)\sin x}}{{3 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{2\pi \sin x}}{{3 + \cos 2x}}dx} $
$ \Rightarrow I = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{3 + \cos 2x}}dx} $
$ = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{3 + 2{{\cos }^2}x - 1}}dx} $
$ = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $
Let, $\cos x = t$
$ \Rightarrow - \sin xdx = dt$
$I = \frac{\pi }{2}\int\limits_1^{ - 1} {\frac{{ - dt}}{{1 + {t^2}}}} $
$ = \frac{\pi }{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} $
$ = \frac{{\pi \times 2}}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} $
$ = \pi \left. {{{\tan }^{ - 1}}t} \right|_0^1$
$ = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$